Theorem nndivtr 8762

Description: Transitive property of divisibility: if 𝐴 divides 𝐵 and 𝐵 divides 𝐶, then 𝐴 divides 𝐶. Typically, 𝐶 would be an integer, although the theorem holds for complex 𝐶. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nndivtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nndivtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 8741	. . 3 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ)
2		nncn 8728	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	3ad2ant2 1003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simp3 983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		nncn 8728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		nnap0 8749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
7	5, 6	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
8	7	3ad2ant1 1002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
9		nnap0 8749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 # 0)
10	2, 9	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	10	3ad2ant2 1003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12		divmul24ap 8476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
13	3, 4, 8, 11, 12	syl22anc 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
14	2, 9	dividapd 8546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
15	14	oveq1d 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
16	15	3ad2ant2 1003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
17		divclap 8438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
18	17	3expb 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
19	7, 18	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mulid2d 7784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
22	21	3adant2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
23	13, 16, 22	3eqtrd 2176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = (𝐶 / 𝐴))
24	23	eleq1d 2208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
25	1, 24	syl5ib 153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
26	25	imp 123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721

This theorem is referenced by:  permnn  10517