Theorem nndomo 6758

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
2	1	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
3		domtr 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → suc 𝐵 ≼ 𝐵)
4	3	expcom 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
6	2, 5	mtod 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐴)
7		ssdomg 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
8	7	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 8	mtod 652	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		nnord 4525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
11		ordsucss 4420	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	9, 13	mtod 652	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
15		nntri1 6392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	14, 16	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	17	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
19		ssdomg 6672	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	19	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	18, 20	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  Ord word 4284  suc csuc 4287  ωcom 4504   ≼ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636

This theorem is referenced by:  fisbth  6777  fientri3  6803  hashennnuni  10525  fihashdom  10549  pwf1oexmid  13194