ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndomo GIF version

Theorem nndomo 6357
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php5dom 6356 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ω → ¬ suc 𝐵𝐵)
21ad2antlr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ suc 𝐵𝐵)
3 domtr 6296 . . . . . . . . 9 ((suc 𝐵𝐴𝐴𝐵) → suc 𝐵𝐵)
43expcom 113 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (suc 𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐵))
54adantl 266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (suc 𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐵))
62, 5mtod 599 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ suc 𝐵𝐴)
7 ssdomg 6289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
87ad2antrr 465 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (suc 𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
96, 8mtod 599 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ suc 𝐵𝐴)
10 nnord 4362 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
11 ordsucss 4258 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
1312ad2antrr 465 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
149, 13mtod 599 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
15 nntri1 6105 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1615adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1714, 16mpbird 160 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1817ex 112 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
19 ssdomg 6289 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2019adantl 266 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2118, 20impbid 124 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wss 2945   class class class wbr 3792  Ord word 4127  suc csuc 4130  ωcom 4341  cdom 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-er 6137  df-en 6253  df-dom 6254
This theorem is referenced by:  fisbth  6371  fientri3  6384
  Copyright terms: Public domain W3C validator