Theorem nngt0 8745

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8743	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 7889	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7766	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7765	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7853	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℕcn 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-inn 8721

This theorem is referenced by:  nnap0  8749  nngt0i  8750  nn2ge  8753  nn1gt1  8754  nnsub  8759  nngt0d  8764  nnrecl  8975  nn0ge0  9002  0mnnnnn0  9009  elnnnn0b  9021  elnnz  9064  elnn0z  9067  ztri3or0  9096  nnm1ge0  9137  gtndiv  9146  nnrp  9451  nnledivrp  9553  fzo1fzo0n0  9960  ubmelfzo  9977  adddivflid  10065  flltdivnn0lt  10077  intfracq  10093  zmodcl  10117  zmodfz  10119  zmodid2  10125  m1modnnsub1  10143  expnnval  10296  nnlesq  10396  facdiv  10484  faclbnd  10487  bc0k  10502  dvdsval3  11497  nndivdvds  11499  moddvds  11502  evennn2n  11580  nnoddm1d2  11607  divalglemnn  11615  ndvdssub  11627  ndvdsadd  11628  modgcd  11679  sqgcd  11717  lcmgcdlem  11758  qredeu  11778  divdenle  11875  hashgcdlem  11903  znnen  11911  exmidunben  11939