ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt1ne1 GIF version

Theorem nngt1ne1 8210
Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nngt1ne1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1
StepHypRef Expression
1 1re 7250 . . 3 1 ∈ ℝ
2 ltne 7333 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
31, 2mpan 415 . 2 (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1)
4 df-ne 2250 . . 3 (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5 nn1gt1 8209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
65ord 676 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
74, 6syl5bi 150 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
83, 7impbid2 141 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3805  cr 7112  1c1 7114   < clt 7285  cn 8176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5567  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-inn 8177
This theorem is referenced by:  prime  8597  eluz2b3  8842  ncoprmgcdne1b  10696  ncoprmgcdgt1b  10697
  Copyright terms: Public domain W3C validator