ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 GIF version

Theorem nnm1nn0 8448
Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 8176 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2 oveq1 5570 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3 1m1e0 8227 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
42, 3syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
54orim1i 710 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
61, 5syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
76orcomd 681 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8 elnn0 8409 . 2 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
97, 8sylibr 132 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5563  0cc0 7095  1c1 7096  cmin 7398  cn 8158  0cn0 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400  df-inn 8159  df-n0 8408
This theorem is referenced by:  elnn0nn  8449  nnaddm1cl  8545  nn0n0n1ge2  8551  fseq1m1p1  9240  nn0ennn  9567  expm1t  9653  expgt1  9663  bcn1  9834  bcm1k  9836  bcn2m1  9845  resqrexlemnm  10105  resqrexlemcvg  10106  resqrexlemga  10110  iddvdsexp  10427  dvdsfac  10468  oexpneg  10484  phibnd  10800  phiprmpw  10805
  Copyright terms: Public domain W3C validator