ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmword GIF version

Theorem nnmword 6054
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 284 . . . 4 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
2 nnmord 6053 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
323com12 1108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
41, 3sylan9bbr 436 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
54notbid 592 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
6 simpl1 907 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ ω)
7 simpl2 908 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ω)
8 nntri1 6037 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 391 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
10 simpl3 909 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ ω)
11 nnmcl 6023 . . . 4 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ ω)
1210, 6, 11syl2anc 391 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ ω)
13 nnmcl 6023 . . . 4 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
1410, 7, 13syl2anc 391 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
15 nntri1 6037 . . 3 (((𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 ·𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
1612, 14, 15syl2anc 391 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → ((𝐶 ·𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐴)))
175, 9, 163bitr4d 209 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885  wcel 1393  wss 2914  c0 3221  ωcom 4276  (class class class)co 5475   ·𝑜 comu 5962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-oadd 5968  df-omul 5969
This theorem is referenced by:  nnmcan  6055  archnqq  6472
  Copyright terms: Public domain W3C validator