Theorem nnne0 8211

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8210	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2145	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 633	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2303	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249  0cc0 7120  ℕcn 8183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1re 7209  ax-addrcl 7212  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-fv 4961  df-ov 5568  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-inn 8184

This theorem is referenced by:  nnne0d  8227  divfnzn  8864  qreccl  8885  fzo1fzo0n0  9346  expinnval  9653  expnegap0  9658  hashnncl  9897  dvdsval3  10432  nndivdvds  10434  modmulconst  10460  dvdsdivcl  10483  divalg2  10558  ndvdssub  10562  nndvdslegcd  10589  divgcdz  10595  divgcdnn  10598  gcdzeq  10643  eucalgf  10669  eucalginv  10670  lcmgcdlem  10691  qredeu  10711  cncongr1  10717  cncongr2  10718  divnumden  10806  divdenle  10807  phimullem  10833  hashgcdlem  10835