Theorem nnnn0 8977

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 8973	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2	1	sseli 3088	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ℕcn 8713  ℕ₀cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nnnn0i  8978  elnnnn0b  9014  elnnnn0c  9015  elnn0z  9060  elz2  9115  nn0ind-raph  9161  zindd  9162  fzo1fzo0n0  9953  ubmelfzo  9970  elfzom1elp1fzo  9972  fzo0sn0fzo1  9991  modqmulnn  10108  expnegap0  10294  expcllem  10297  expcl2lemap  10298  expap0  10316  expeq0  10317  mulexpzap  10326  expnlbnd  10409  facdiv  10477  faclbnd  10480  faclbnd3  10482  faclbnd6  10483  resqrexlemlo  10778  absexpzap  10845  isummolemnm  11141  summodclem2a  11143  fsum3  11149  arisum  11260  expcnvap0  11264  expcnv  11266  geo2sum  11276  geo2lim  11278  geoisum1c  11282  0.999...  11283  mertenslem2  11298  ef0lem  11355  ege2le3  11366  efaddlem  11369  efexp  11377  nn0enne  11588  nnehalf  11590  nno  11592  nn0o  11593  divalg2  11612  ndvdssub  11616  gcddiv  11696  gcdmultiple  11697  gcdmultiplez  11698  rpmulgcd  11703  rplpwr  11704  dvdssqlem  11707  eucalgf  11725  1nprm  11784  isprm6  11814  prmdvdsexp  11815  pw2dvds  11833  oddpwdc  11841  phicl2  11879  phibndlem  11881  phiprmpw  11887  crth  11889  hashgcdlem  11892  ennnfonelemjn  11904  dvexp  12833