ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0addcl GIF version

Theorem nnnn0addcl 8269
Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnnn0addcl
StepHypRef Expression
1 elnn0 8241 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnaddcl 8010 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3 oveq2 5548 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
4 nncn 7998 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
54addid1d 7223 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
63, 5sylan9eqr 2110 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
7 simpl 106 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
86, 7eqeltrd 2130 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
92, 8jaodan 721 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
101, 9sylan2b 275 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5540  0cc0 6947   + caddc 6950  cn 7990  0cn0 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addass 7044  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-iota 4895  df-fv 4938  df-ov 5543  df-inn 7991  df-n0 8240
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  8270  elz2  8370
  Copyright terms: Public domain W3C validator