Theorem nnnq 7223

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7116	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7161	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6476	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7149	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2231	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3525   × cxp 4532  1_oc1o 6299  [cec 6420   / cqs 6421  Ncnpi 7073   ~_Q ceq 7080  Qcnq 7081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-1o 6306  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-enq 7148  df-nqqs 7149

This theorem is referenced by:  recnnpr  7349  nnprlu  7354  archrecnq  7464  archrecpr  7465  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprlemm  7469  caucvgprlemopl  7470  caucvgprlemlol  7471  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgprprlemloccalc  7485  caucvgprprlemnkltj  7490  caucvgprprlemnkeqj  7491  caucvgprprlemnjltk  7492  caucvgprprlemml  7495  caucvgprprlemopl  7498  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemloc  7504  caucvgprprlemexb  7508  caucvgprprlem1  7510  caucvgprprlem2  7511  pitonnlem2  7648  ltrennb  7655  recidpipr  7657