ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq GIF version

Theorem nnnq 6548
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq (𝐴N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~QQ)

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 6441 . . . 4 1𝑜N
2 opelxpi 4401 . . . 4 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → ⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
31, 2mpan2 409 . . 3 (𝐴N → ⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
4 enqex 6486 . . . 4 ~Q ∈ V
54ecelqsi 6188 . . 3 (⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
63, 5syl 14 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7 df-nqqs 6474 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
86, 7syl6eleqr 2145 1 (𝐴N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~QQ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1407  cop 3403   × cxp 4368  1𝑜c1o 6022  [cec 6132   / cqs 6133  Ncnpi 6398   ~Q ceq 6405  Qcnq 6406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-br 3790  df-opab 3844  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-cnv 4378  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-1o 6029  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-enq 6473  df-nqqs 6474
This theorem is referenced by:  recnnpr  6674  nnprlu  6679  archrecnq  6789  archrecpr  6790  caucvgprlemnkj  6792  caucvgprlemnbj  6793  caucvgprlemm  6794  caucvgprlemopl  6795  caucvgprlemlol  6796  caucvgprlemloc  6801  caucvgprlemladdfu  6803  caucvgprlemladdrl  6804  caucvgprprlemloccalc  6810  caucvgprprlemnkltj  6815  caucvgprprlemnkeqj  6816  caucvgprprlemnjltk  6817  caucvgprprlemml  6820  caucvgprprlemopl  6823  caucvgprprlemlol  6824  caucvgprprlemloc  6829  caucvgprprlemexb  6833  caucvgprprlem1  6835  caucvgprprlem2  6836  pitonnlem2  6951  ltrennb  6958  recidpipr  6960
  Copyright terms: Public domain W3C validator