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Theorem nno 11530
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 9366 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2 nnnn0 8952 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0o1gt2 11529 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
42, 3sylan 281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5 eqneqall 2295 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
65a1d 22 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7 nn0z 9042 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8 peano2zm 9060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
109ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 2cn 8759 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1211mulid2i 7737 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 2) = 2
13 nnre 8695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413ltp1d 8656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16 2re 8758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18 peano2nn 8700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1918nnred 8701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20 lttr 7806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2117, 13, 19, 20syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2221expdimp 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
2412, 23eqbrtrid 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
25 1red 7749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
2619adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27 2pos 8779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
2816, 27pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
30 ltmuldiv 8600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
3125, 26, 29, 30syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
3224, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
3319rehalfcld 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3525, 34posdifd 8262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3632, 35mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
3736adantlr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
38 elnnz 9032 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3910, 37, 38sylanbrc 413 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
40 nncn 8696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 xp1d2m1eqxm1d2 8940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4342eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4443adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4544adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4639, 45mpbid 146 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4746a1d 22 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4847expcom 115 . . . . . 6 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
496, 48jaoi 690 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
504, 49mpcom 36 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5150impancom 258 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
521, 51sylbi 120 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5352imp 123 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  nn0o  11531
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