ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsseleq GIF version

Theorem nnsseleq 6165
Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsseleq ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem nnsseleq
StepHypRef Expression
1 nntri1 6160 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2 nntri3or 6157 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
3 df-3or 921 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
42, 3sylib 120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
54orcomd 681 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
65ord 676 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
71, 6sylbid 148 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
8 nnord 4380 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
98adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord 𝐵)
10 ordelss 4162 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ex 113 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
129, 11syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
13 eqimss 3060 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1512, 14jaod 670 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
167, 15impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3o 919   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2982  Ord word 4145  ωcom 4359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-int 3657  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360
This theorem is referenced by:  frec2uzled  9563
  Copyright terms: Public domain W3C validator