Theorem nnsucsssuc 6010

Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4200, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4212. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucsssuc	⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ⊆ B ↔ suc A ⊆ suc B))

Proof of Theorem nnsucsssuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2960	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ⊆ B ↔ A ⊆ B))
2		suceq 4105	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → suc x = suc A)
3	2	sseq1d 2966	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (suc x ⊆ suc B ↔ suc A ⊆ suc B))
4	1, 3	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((x ⊆ B → suc x ⊆ suc B) ↔ (A ⊆ B → suc A ⊆ suc B)))
5	4	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (x = A → ((B ∈ 𝜔 → (x ⊆ B → suc x ⊆ suc B)) ↔ (B ∈ 𝜔 → (A ⊆ B → suc A ⊆ suc B))))
6		sseq1 2960	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (x ⊆ B ↔ ∅ ⊆ B))
7		suceq 4105	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → suc x = suc ∅)
8	7	sseq1d 2966	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (suc x ⊆ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
9	6, 8	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → ((x ⊆ B → suc x ⊆ suc B) ↔ (∅ ⊆ B → suc ∅ ⊆ suc B)))
10		sseq1 2960	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x ⊆ B ↔ y ⊆ B))
11		suceq 4105	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → suc x = suc y)
12	11	sseq1d 2966	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (suc x ⊆ suc B ↔ suc y ⊆ suc B))
13	10, 12	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((x ⊆ B → suc x ⊆ suc B) ↔ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B)))
14		sseq1 2960	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (x ⊆ B ↔ suc y ⊆ B))
15		suceq 4105	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → suc x = suc suc y)
16	15	sseq1d 2966	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (suc x ⊆ suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
17	14, 16	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → ((x ⊆ B → suc x ⊆ suc B) ↔ (suc y ⊆ B → suc suc y ⊆ suc B)))
18		peano3 4262	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ 𝜔 → suc B ≠ ∅)
19	18	neneqd 2221	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ 𝜔 → ¬ suc B = ∅)
20		peano2 4261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ 𝜔 → suc B ∈ 𝜔)
21		0elnn 4283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc B ∈ 𝜔 → (suc B = ∅ ∨ ∅ ∈ suc B))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (suc B = ∅ ∨ ∅ ∈ suc B))
23	22	ord 642	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (¬ suc B = ∅ → ∅ ∈ suc B))
24	19, 23	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ 𝜔 → ∅ ∈ suc B)
25		nnord 4277	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ 𝜔 → Ord B)
26		ordsucim 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord B → Ord suc B)
27		0ex 3875	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
28		ordelsuc 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ Ord suc B) → (∅ ∈ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
29	27, 28	mpan 400	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord suc B → (∅ ∈ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
30	25, 26, 29	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (∅ ∈ suc B ↔ suc ∅ ⊆ suc B))
31	24, 30	mpbid 135	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ 𝜔 → suc ∅ ⊆ suc B)
32	31	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (∅ ⊆ B → suc ∅ ⊆ suc B))
33		simp3 905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → suc y ⊆ B)
34		simp1l 927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → y ∈ 𝜔)
35		simp1r 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → B ∈ 𝜔)
36	35, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → Ord B)
37		ordelsuc 4197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ Ord B) → (y ∈ B ↔ suc y ⊆ B))
38	34, 36, 37	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → (y ∈ B ↔ suc y ⊆ B))
39	33, 38	mpbird 156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → y ∈ B)
40		nnsucelsuc 6009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (y ∈ B ↔ suc y ∈ suc B))
41	35, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → (y ∈ B ↔ suc y ∈ suc B))
42	39, 41	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → suc y ∈ suc B)
43		peano2 4261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ 𝜔 → suc y ∈ 𝜔)
44	34, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → suc y ∈ 𝜔)
45	36, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → Ord suc B)
46		ordelsuc 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc y ∈ 𝜔 ∧ Ord suc B) → (suc y ∈ suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
47	44, 45, 46	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → (suc y ∈ suc B ↔ suc suc y ⊆ suc B))
48	42, 47	mpbid 135	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) ∧ suc y ⊆ B) → suc suc y ⊆ suc B)
49	48	3expia 1105	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) ∧ (y ⊆ B → suc y ⊆ suc B)) → (suc y ⊆ B → suc suc y ⊆ suc B))
50	49	exp31 346	. . . . 5 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → ((y ⊆ B → suc y ⊆ suc B) → (suc y ⊆ B → suc suc y ⊆ suc B))))
51	9, 13, 17, 32, 50	finds2 4267	. . . 4 ⊢ (x ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (x ⊆ B → suc x ⊆ suc B)))
52	5, 51	vtoclga 2613	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (A ⊆ B → suc A ⊆ suc B)))
53	52	imp 115	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ⊆ B → suc A ⊆ suc B))
54		nnon 4275	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝜔 → A ∈ On)
55		onsucsssucr 4200	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ Ord B) → (suc A ⊆ suc B → A ⊆ B))
56	54, 25, 55	syl2an 273	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (suc A ⊆ suc B → A ⊆ B))
57	53, 56	impbid 120	1 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ⊆ B ↔ suc A ⊆ suc B))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  Ord word 4065  Oncon0 4066  suc csuc 4068  𝜔com 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257

This theorem is referenced by:  nnaword  6020