Theorem nntri2 6383

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4451	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 663	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 616	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5		en2lp 4464	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	5	imnani 680	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		ioran 741	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nntri3or 6382	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		3orass 965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
12	11	orcomd 718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	12	ord 713	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐵))
14	8, 13	impbid2 142	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ωcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  nnaord  6398  nnmord  6406  pitric  7122