ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nprm GIF version

Theorem nprm 10730
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem nprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8779 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
32zred 8620 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 eluz2b2 8841 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
54simprbi 269 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
65adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
7 eluzelz 8779 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
87adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
98zred 8620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 eluz2nn 8808 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1110adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1211nngt0d 8219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝐴)
13 ltmulgt11 8079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐵𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
143, 9, 12, 13syl3anc 1170 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < 𝐵𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
156, 14mpbid 145 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
163, 15ltned 7361 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵))
17 dvdsmul1 10443 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
181, 7, 17syl2an 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
19 isprm4 10726 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵))))
2019simprbi 269 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)))
21 breq1 3808 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
22 eqeq1 2089 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2423rspcv 2706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2520, 24syl5 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2625adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2718, 26mpid 41 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
2827necon3ad 2291 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ))
2916, 28mpd 13 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wral 2353   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5564  cr 7112  0cc0 7113  1c1 7114   · cmul 7118   < clt 7285  cn 8176  2c2 8226  cz 8502  cuz 8770  cdvds 10421  cprime 10714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-prm 10715
This theorem is referenced by:  nprmi  10731  dvdsnprmd  10732  sqnprm  10742
  Copyright terms: Public domain W3C validator