ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 6717
Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (𝐴Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6694 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6160 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
3 1pi 6567 . . . . . . 7 1𝑜N
4 mulnnnq0 6702 . . . . . . 7 (((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 427 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6165 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
76adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (2𝑜 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 +𝑜 𝑧))
8 pinn 6561 . . . . . . . . . 10 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
9 1onn 6159 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ ω
10 nnmcom 6133 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
119, 10mpan 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 1𝑜))
12 nnm1 6163 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
1311, 12eqtrd 2114 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑤N → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
1514adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (1𝑜 ·𝑜 𝑤) = 𝑤)
167, 15opeq12d 3586 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩)
1716eceq1d 6208 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(2𝑜 ·𝑜 𝑧), (1𝑜 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 6710 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1227 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +𝑜 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2118 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2120adantr 270 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5551 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5561 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2096 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2625adantl 271 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 165 . . 3 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
2827exlimivv 1818 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
291, 28syl 14 1 (𝐴Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  cop 3409  ωcom 4339  (class class class)co 5543  1𝑜c1o 6058  2𝑜c2o 6059   +𝑜 coa 6062   ·𝑜 comu 6063  [cec 6170  Ncnpi 6524   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539   +Q0 cplq0 6541   ·Q0 cmq0 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-plq0 6679  df-mq0 6680
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6754
  Copyright terms: Public domain W3C validator