Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 GIF version

Theorem nq0a0 6612
 Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6597 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6581 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5548 . . . . . 6 ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan2 409 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4344 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 6470 . . . . . 6 1𝑜N
7 addnnnq0 6604 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanr12 423 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2110 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10 pinn 6464 . . . . . . . . . 10 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
11 nnm0 6084 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 ∅) = ∅)
1211oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14 nnm1 6127 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
1514oveq1d 5554 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑤 +𝑜 ∅))
16 nna0 6083 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +𝑜 ∅) = 𝑤)
1715, 16eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = 𝑤)
1813, 17sylan9eqr 2110 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = 𝑤)
19 nnm1 6127 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2120adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2218, 21opeq12d 3584 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
2322eceq1d 6172 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
2423eqeq2d 2067 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2524biimpar 285 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
269, 25eqtr4d 2091 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
2726exlimivv 1792 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
281, 27syl 14 1 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   = wceq 1259  ∃wex 1397   ∈ wcel 1409  ∅c0 3251  ⟨cop 3405  ωcom 4340  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024   +𝑜 coa 6028   ·𝑜 comu 6029  [cec 6134  Ncnpi 6427   ~Q0 ceq0 6441  Q0cnq0 6442  0Q0c0q0 6443   +Q0 cplq0 6444 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582 This theorem is referenced by:  prarloclem5  6655
 Copyright terms: Public domain W3C validator