ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r GIF version

Theorem nq0m0r 6612
Description: Multiplication with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6598 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6582 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5549 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 408 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4345 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 6471 . . . . . 6 1𝑜N
7 mulnnnq0 6606 . . . . . 6 (((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 420 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2110 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·𝑜 𝑤) = ∅)
1110oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12 1onn 6124 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ ω
13 nnm0r 6089 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜 ∈ ω → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
1511, 14syl6eq 2104 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1615adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17 mulpiord 6473 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·N 𝑣) = (1𝑜 ·𝑜 𝑣))
18 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·N 𝑣) ∈ N)
1917, 18eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N)
206, 19mpan 408 . . . . . . . . . 10 (𝑣N → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N)
21 pinn 6465 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ ω)
22 nnm0 6085 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ ω → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2423adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2091 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅))
2610, 5syl6eqel 2144 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
27 enq0eceq 6593 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
285, 6, 27mpanr12 423 . . . . . . . 8 (((∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
2926, 20, 28syl2an 277 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
3025, 29mpbird 160 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3130, 2syl6eqr 2106 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 265 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2088 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
3433exlimivv 1792 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  c0 3252  cop 3406  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025   ·𝑜 comu 6030  [cec 6135  Ncnpi 6428   ·N cmi 6430   ~Q0 ceq0 6442  Q0cnq0 6443  0Q0c0q0 6444   ·Q0 cmq0 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-mq0 6584
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6656
  Copyright terms: Public domain W3C validator