Theorem nqex 7171

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7156	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7120	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4654	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6486	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2212	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   × cxp 4537   / cqs 6428  Ncnpi 7080   ~_Q ceq 7087  Qcnq 7088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156

This theorem is referenced by:  npex  7281  elinp  7282  genipv  7317  genpelxp  7319  genpelvl  7320  genpelvu  7321  genipdm  7324  ltnqex  7357  gtnqex  7358  ltexprlemell  7406  ltexprlemelu  7407  ltexprlempr  7416  recexprlemell  7430  recexprlemelu  7431  recexprlempr  7440  cauappcvgprlemm  7453  cauappcvgprlemopl  7454  cauappcvgprlemlol  7455  cauappcvgprlemopu  7456  cauappcvgprlemupu  7457  cauappcvgprlemdisj  7459  cauappcvgprlemloc  7460  cauappcvgprlemcl  7461  cauappcvgprlemladdfu  7462  cauappcvgprlemladdfl  7463  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlemladd  7466  cauappcvgprlem1  7467  cauappcvgprlem2  7468  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemopl  7477  caucvgprlemlol  7478  caucvgprlemopu  7479  caucvgprlemupu  7480  caucvgprlemdisj  7482  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemcl  7484  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlem2  7488  caucvgprprlemell  7493  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemcl  7512  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlem2  7518  suplocexprlem2b  7522  suplocexprlemlub  7532