ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 GIF version

Theorem nqnq0 6597
Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0 QQ0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . . . . 5 Q = ((N × N) / ~Q )
21eleq2i 2120 . . . 4 (𝑦Q𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ))
3 vex 2577 . . . . 5 𝑦 ∈ V
43elqs 6188 . . . 4 (𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ ∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q )
5 df-rex 2329 . . . 4 (∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
62, 4, 53bitri 199 . . 3 (𝑦Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
7 elxpi 4389 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑢𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)))
8 nqnq0pi 6594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢N𝑣N) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
98adantl 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
10 eceq1 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 )
11 eceq1 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
1210, 11eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
1312adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
149, 13mpbird 160 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q )
15 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢N𝑢 ∈ ω)
16 opelxpi 4404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
1715, 16sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢N𝑣N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
1817adantl 266 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
19 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
2019adantr 265 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
2118, 20mpbird 160 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → 𝑥 ∈ (ω × N))
22 enq0ex 6595 . . . . . . . . . . . 12 ~Q0 ∈ V
2322ecelqsi 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24 df-nq0 6581 . . . . . . . . . . 11 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2523, 24syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0Q0)
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~Q0Q0)
2714, 26eqeltrrd 2131 . . . . . . . 8 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~QQ0)
2827exlimivv 1792 . . . . . . 7 (∃𝑢𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~QQ0)
297, 28syl 14 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (N × N) → [𝑥] ~QQ0)
3029adantr 265 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → [𝑥] ~QQ0)
31 eleq1 2116 . . . . . 6 (𝑦 = [𝑥] ~Q → (𝑦Q0 ↔ [𝑥] ~QQ0))
3231adantl 266 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → (𝑦Q0 ↔ [𝑥] ~QQ0))
3330, 32mpbird 160 . . . 4 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦Q0)
3433exlimiv 1505 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦Q0)
356, 34sylbi 118 . 2 (𝑦Q𝑦Q0)
3635ssriv 2977 1 QQ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324  wss 2945  cop 3406  ωcom 4341   × cxp 4371  [cec 6135   / cqs 6136  Ncnpi 6428   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   ~Q0 ceq0 6442  Q0cnq0 6443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-enq0 6580  df-nq0 6581
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6656  prarloclemcalc  6658
  Copyright terms: Public domain W3C validator