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Theorem nqpnq0nq 6608
Description: A positive fraction plus a non-negative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6533 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2 nq0nn 6597 . . . 4 (𝐵Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
31, 2anim12i 325 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q0) → (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
4 ee4anv 1825 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
53, 4sylibr 141 . 2 ((𝐴Q𝐵Q0) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
6 oveq12 5548 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
76ad2ant2l 485 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
8 nqnq0pi 6593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥N𝑦N) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
98oveq1d 5554 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
109adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
11 pinn 6464 . . . . . . . . 9 (𝑥N𝑥 ∈ ω)
12 addnnnq0 6604 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1311, 12sylanl1 388 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1410, 13eqtr3d 2090 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1514ad2ant2r 486 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
167, 15eqtrd 2088 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
17 pinn 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
18 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
1917, 18sylan 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
2019ad2ant2lr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
21 mulpiord 6472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑥 ·𝑜 𝑤))
22 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
2321, 22eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
2423ad2ant2rl 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
25 pinn 6464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
26 nnacom 6093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
2725, 26sylan2 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
2820, 24, 27syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
29 nnppipi 6498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) ∈ N)
3020, 24, 29syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) ∈ N)
3128, 30eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N)
32 mulpiord 6472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
33 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3432, 33eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
3534ad2ant2l 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
36 opelxpi 4403 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
3731, 35, 36syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
38 enqex 6515 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
3938ecelqsi 6190 . . . . . . . . 9 (⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6503 . . . . . . . 8 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2147 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ)
43 nqnq0pi 6593 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q )
4443eleq1d 2122 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ))
4531, 35, 44syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ))
4642, 45mpbird 160 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4746ad2ant2r 486 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4816, 47eqeltrd 2130 . . . 4 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
4948exlimivv 1792 . . 3 (∃𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
5049exlimivv 1792 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
515, 50syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  cop 3405  ωcom 4340   × cxp 4370  (class class class)co 5539   +𝑜 coa 6028   ·𝑜 comu 6029  [cec 6134   / cqs 6135  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   ~Q0 ceq0 6441  Q0cnq0 6442   +Q0 cplq0 6444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-plq0 6582
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6657
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