Theorem nqprloc 7346

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7348. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
2	1	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
4		vex 2684	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7	6	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
8	7	orcd 722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
10		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11		breq1 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10, 11	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → 𝐴 <Q 𝑟))
13		vex 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑟 ∈ V
14		breq2 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
15	13, 14	elab 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16		olc 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
17	15, 16	sylbir 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
19		ltsonq 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
20		ltrelnq 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
21	19, 20	sotri 4929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
23	22	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
24	23	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
25	9, 18, 24	3jaod 1282	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
27	26	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
28	27	ralrimiva 2503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
29	28	ralrimiva 2503	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  ∀wral 2414   class class class wbr 3924  Qcnq 7081   <_Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  nqprxx  7347