ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc GIF version

Theorem nqprloc 6700
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 6702. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 6551 . . . . . . 7 ((𝑞Q𝐴Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
21ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑞Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
32ad2antrr 465 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
4 vex 2577 . . . . . . . . . 10 𝑞 ∈ V
5 breq1 3794 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
64, 5elab 2709 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
76biimpri 128 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q 𝐴𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
87orcd 662 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
10 simpr 107 . . . . . . . 8 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3794 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 148 . . . . . . 7 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑟))
13 vex 2577 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ V
14 breq2 3795 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
1513, 14elab 2709 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16 olc 642 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1715, 16sylbir 129 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1812, 17syl6 33 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
19 ltsonq 6553 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 6520 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 4747 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2322expcom 113 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2423adantl 266 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
259, 18, 243jaod 1210 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2726ex 112 . . 3 (((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2827ralrimiva 2409 . 2 ((𝐴Q𝑞Q) → ∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2928ralrimiva 2409 1 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639  w3o 895   = wceq 1259  wcel 1409  {cab 2042  wral 2323   class class class wbr 3791  Qcnq 6435   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-lti 6462  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  nqprxx  6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator