ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm GIF version

Theorem nqprm 6668
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6673. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 6538 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
2 vex 2575 . . . . 5 𝑞 ∈ V
3 breq1 3792 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
42, 3elab 2707 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
54rexbii 2346 . . 3 (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
61, 5sylibr 141 . 2 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
7 archnqq 6543 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )
8 df-rex 2327 . . . . 5 (∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
97, 8sylib 131 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
10 1pi 6441 . . . . . . . 8 1𝑜N
11 opelxpi 4401 . . . . . . . . 9 ((𝑛N ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
12 enqex 6486 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
1312ecelqsi 6188 . . . . . . . . 9 (⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑛N ∧ 1𝑜N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1510, 14mpan2 409 . . . . . . 7 (𝑛N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16 df-nqqs 6474 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
1715, 16syl6eleqr 2145 . . . . . 6 (𝑛N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~QQ)
18 breq2 3793 . . . . . . 7 (𝑟 = [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
1918rspcev 2671 . . . . . 6 (([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~QQ𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2017, 19sylan 271 . . . . 5 ((𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2120exlimiv 1503 . . . 4 (∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
229, 21syl 14 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
23 vex 2575 . . . . 5 𝑟 ∈ V
24 breq2 3793 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
2523, 24elab 2707 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
2625rexbii 2346 . . 3 (∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2722, 26sylibr 141 . 2 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
286, 27jca 294 1 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wex 1395  wcel 1407  {cab 2040  wrex 2322  cop 3403   class class class wbr 3789   × cxp 4368  1𝑜c1o 6022  [cec 6132   / cqs 6133  Ncnpi 6398   ~Q ceq 6405  Qcnq 6406   <Q cltq 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479
This theorem is referenced by:  nqprxx  6672
  Copyright terms: Public domain W3C validator