Theorem nqprm 6794

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6799. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 6664	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
2		vex 2605	. . . . 5 ⊢ 𝑞 ∈ V
3		breq1 3796	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
4	2, 3	elab 2739	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
5	4	rexbii 2374	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
6	1, 5	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
7		archnqq 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )
8		df-rex 2355	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
9	7, 8	sylib 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
10		1pi 6567	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		opelxpi 4402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 6612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6226	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	10, 14	mpan2 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16		df-nqqs 6600	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
17	15, 16	syl6eleqr 2173	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
18		breq2 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
19	18	rspcev 2702	. . . . . 6 ⊢ (([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
20	17, 19	sylan 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
21	20	exlimiv 1530	. . . 4 ⊢ (∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
22	9, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
23		vex 2605	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
24		breq2 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
25	23, 24	elab 2739	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
26	25	rexbii 2374	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
27	22, 26	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
28	6, 27	jca 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  {cab 2068  ∃wrex 2350  ⟨cop 3409   class class class wbr 3793   × cxp 4369  1_𝑜c1o 6058  [cec 6170   / cqs 6171  Ncnpi 6524   ~_Q ceq 6531  Qcnq 6532   <_Q cltq 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605

This theorem is referenced by:  nqprxx  6798