ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm GIF version

Theorem nqprm 6794
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6799. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 6664 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
2 vex 2605 . . . . 5 𝑞 ∈ V
3 breq1 3796 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
42, 3elab 2739 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
54rexbii 2374 . . 3 (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
61, 5sylibr 132 . 2 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
7 archnqq 6669 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )
8 df-rex 2355 . . . . 5 (∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
97, 8sylib 120 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
10 1pi 6567 . . . . . . . 8 1𝑜N
11 opelxpi 4402 . . . . . . . . 9 ((𝑛N ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
12 enqex 6612 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
1312ecelqsi 6226 . . . . . . . . 9 (⟨𝑛, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑛N ∧ 1𝑜N) → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1510, 14mpan2 416 . . . . . . 7 (𝑛N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16 df-nqqs 6600 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
1715, 16syl6eleqr 2173 . . . . . 6 (𝑛N → [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~QQ)
18 breq2 3797 . . . . . . 7 (𝑟 = [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ))
1918rspcev 2702 . . . . . 6 (([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~QQ𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2017, 19sylan 277 . . . . 5 ((𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2120exlimiv 1530 . . . 4 (∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
229, 21syl 14 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
23 vex 2605 . . . . 5 𝑟 ∈ V
24 breq2 3797 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
2523, 24elab 2739 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
2625rexbii 2374 . . 3 (∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2722, 26sylibr 132 . 2 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
286, 27jca 300 1 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wex 1422  wcel 1434  {cab 2068  wrex 2350  cop 3409   class class class wbr 3793   × cxp 4369  1𝑜c1o 6058  [cec 6170   / cqs 6171  Ncnpi 6524   ~Q ceq 6531  Qcnq 6532   <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  nqprxx  6798
  Copyright terms: Public domain W3C validator