ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsuceq0g GIF version

Theorem nsuceq0g 4183
Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0g (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g
StepHypRef Expression
1 noel 3256 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 4181 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2117 . . . 4 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 148 . . 3 (𝐴𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 600 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
65neneqad 2299 1 (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  c0 3252  suc csuc 4130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-nul 3253  df-sn 3409  df-suc 4136
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4283  peano3  4347  frec0g  6014  2on0  6041
  Copyright terms: Public domain W3C validator