ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsuceq0g GIF version

Theorem nsuceq0g 4126
Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0g (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g
StepHypRef Expression
1 noel 3225 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 4124 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2101 . . . 4 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 144 . . 3 (𝐴𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 590 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
65neneqad 2281 1 (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204  c0 3221  suc csuc 4073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-nul 3222  df-sn 3378  df-suc 4079
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4225  peano3  4280  frec0g  5944  2on0  5971
  Copyright terms: Public domain W3C validator