Theorem oa0 6353

Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oa0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem oa0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4314	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oav 6350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
3	1, 2	mpan2 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
4		rdg0g 6285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ∅c0 3363   ↦ cmpt 3989  Oncon0 4285  suc csuc 4287  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  reccrdg 6266   +_o coa 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317

This theorem is referenced by:  oa1suc  6363  oaword1  6367  nna0  6370  nna0r  6374  nnm0r  6375