Theorem oa1suc 6111

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6065	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2	1	oveq2i 5554	. . 3 ⊢ (𝐴 +𝑜 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 suc ∅)
3		peano1 4343	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onasuc 6110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
5	3, 4	mpan2 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
6	2, 5	syl5eq 2126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
7		oa0 6101	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
8		suceq 4165	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
10	6, 9	eqtrd 2114	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3258  Oncon0 4126  suc csuc 4128  ωcom 4339  (class class class)co 5543  1_𝑜c1o 6058   +_𝑜 coa 6062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6112  oawordriexmid  6114  nnaordex  6166  indpi  6594  prarloclemlo  6746