ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oawordi GIF version

Theorem oawordi 5988
Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oawordi ((A On B On 𝐶 On) → (AB → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B)))

Proof of Theorem oawordi
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oafnex 5963 . . . . 5 (x V ↦ suc x) Fn V
21a1i 9 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (x V ↦ suc x) Fn V)
3 simpl3 908 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → 𝐶 On)
4 simpl1 906 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → A On)
5 simpl2 907 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → B On)
6 simpr 103 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → AB)
72, 3, 4, 5, 6rdgss 5910 . . 3 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘A) ⊆ (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
83, 4jca 290 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (𝐶 On A On))
9 oav 5973 . . . 4 ((𝐶 On A On) → (𝐶 +𝑜 A) = (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘A))
108, 9syl 14 . . 3 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (𝐶 +𝑜 A) = (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘A))
113, 5jca 290 . . . 4 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (𝐶 On B On))
12 oav 5973 . . . 4 ((𝐶 On B On) → (𝐶 +𝑜 B) = (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
1311, 12syl 14 . . 3 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (𝐶 +𝑜 B) = (rec((x V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
147, 10, 133sstr4d 2982 . 2 (((A On B On 𝐶 On) AB) → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B))
1514ex 108 1 ((A On B On 𝐶 On) → (AB → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  cmpt 3809  Oncon0 4066  suc csuc 4068   Fn wfn 4840  cfv 4845  (class class class)co 5455  reccrdg 5896   +𝑜 coa 5937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944
This theorem is referenced by:  oaword1  5989
  Copyright terms: Public domain W3C validator