Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn GIF version

Theorem oddennn 10812
 Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8164 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 3942 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 elrabi 2754 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8173 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5 breq2 3809 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
65notbid 625 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
76elrab 2757 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
87simprbi 269 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
93nnzd 8601 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10 oddp1even 10483 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
119, 10syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
128, 11mpbid 145 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13 nnehalf 10511 . . 3 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
144, 12, 13syl2anc 403 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15 nnz 8503 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16 2z 8512 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1716a1i 9 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
1815, 17zmulcld 8608 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19 peano2zm 8522 . . . . 5 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
2018, 19syl 14 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21 1e2m1 8276 . . . . 5 1 = (2 − 1)
2217zred 8602 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23 nnre 8165 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
2423, 22remulcld 7263 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25 1red 7248 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26 0le2 8248 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28 nnge1 8181 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8135 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
3022, 24, 25, 29lesub1dd 7780 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
3121, 30syl5eqbr 3838 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32 elnnz1 8507 . . . 4 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
3320, 31, 32sylanbrc 408 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34 dvdsmul2 10426 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
3515, 16, 34sylancl 404 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36 oddm1even 10482 . . . . . 6 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3718, 36syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3837biimprd 156 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
3935, 38mt2d 588 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40 breq2 3809 . . . . 5 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4140notbid 625 . . . 4 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4241elrab 2757 . . 3 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4333, 39, 42sylanbrc 408 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44 eqcom 2085 . . 3 (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
453adantr 270 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
4645nncnd 8172 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47 1cnd 7249 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4846, 47addcld 7252 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
49 simpr 108 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
5049nncnd 8172 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
51 2cnd 8231 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
52 2ap0 8251 . . . . . 6 2 # 0
5352a1i 9 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
5448, 50, 51, 53divmulap3d 8030 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
5550, 51mulcld 7253 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
5646, 47, 55addlsub 7593 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
5754, 56bitrd 186 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
5844, 57syl5rbbr 193 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
592, 1, 14, 43, 58en3i 6339 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   ≈ cen 6306  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   ≤ cle 7268   − cmin 7398   # cap 7800   / cdiv 7879  ℕcn 8158  2c2 8208  ℤcz 8484   ∥ cdvds 10403 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-en 6309  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-dvds 10404 This theorem is referenced by:  xpnnen  10814  unennn  10817
 Copyright terms: Public domain W3C validator