ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offres GIF version

Theorem offres 5790
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3186 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
21sseli 2969 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
3 fvres 5226 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐹𝐷)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4 fvres 5226 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐺𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
53, 4oveq12d 5558 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
62, 5syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
76mpteq2ia 3871 . . 3 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
8 inindi 3182 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9 incom 3157 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10 dmres 4660 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11 dmres 4660 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
1210, 11ineq12i 3164 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
138, 9, 123eqtr4ri 2087 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14 eqid 2056 . . . 4 (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))
1513, 14mpteq12i 3873 . . 3 (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
16 resmpt3 4685 . . 3 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
177, 15, 163eqtr4ri 2087 . 2 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
18 offval3 5789 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
1918reseq1d 4639 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷))
20 resexg 4678 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
21 resexg 4678 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺𝐷) ∈ V)
22 offval3 5789 . . 3 (((𝐹𝐷) ∈ V ∧ (𝐺𝐷) ∈ V) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2320, 21, 22syl2an 277 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2417, 19, 233eqtr4a 2114 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  cin 2944  cmpt 3846  dom cdm 4373  cres 4375  cfv 4930  (class class class)co 5540  𝑓 cof 5738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-of 5740
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator