ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  om0 GIF version

Theorem om0 6129
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 4177 . . 3 ∅ ∈ On
2 omv 6126 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅))
31, 2mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅))
4 0ex 3926 . . 3 ∅ ∈ V
54rdg0 6062 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
63, 5syl6eq 2131 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2611  c0 3268  cmpt 3860  Oncon0 4148  cfv 4955  (class class class)co 5569  reccrdg 6044   +𝑜 coa 6088   ·𝑜 comu 6089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4078  df-iord 4151  df-on 4153  df-suc 4156  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-irdg 6045  df-oadd 6095  df-omul 6096
This theorem is referenced by:  nnm0  6146  nnm0r  6150
  Copyright terms: Public domain W3C validator