Theorem om0 5977

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	⊢ (A ∈ On → (A ·𝑜 ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4095	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		omv 5974	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (A ·𝑜 ∅) = (rec((x ∈ V ↦ (x +𝑜 A)), ∅)‘∅))
3	1, 2	mpan2 401	. 2 ⊢ (A ∈ On → (A ·𝑜 ∅) = (rec((x ∈ V ↦ (x +𝑜 A)), ∅)‘∅))
4		0ex 3875	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	rdg0 5914	. 2 ⊢ (rec((x ∈ V ↦ (x +𝑜 A)), ∅)‘∅) = ∅
6	3, 5	syl6eq 2085	1 ⊢ (A ∈ On → (A ·𝑜 ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ∅c0 3218   ↦ cmpt 3809  Oncon0 4066  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  reccrdg 5896   +_𝑜 coa 5937   ·_𝑜 comu 5938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945

This theorem is referenced by:  nnm0  5993  nnm0r  5997