Theorem omfnex 6059

Description: The characteristic function for ordinal multiplication is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omfnex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem omfnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2577	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		oaexg 6058	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	mpan 408	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
4	3	ralrimivw 2410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ V (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
5		eqid 2056	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴))
6	5	fnmpt 5052	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)
7	4, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  Vcvv 2574   ↦ cmpt 3845   Fn wfn 4924  (class class class)co 5539   +_𝑜 coa 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035

This theorem is referenced by:  fnom  6060  omexg  6061  omv  6065  omcl  6071  omv2  6075