ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omfnex GIF version

Theorem omfnex 6113
Description: The characteristic function for ordinal multiplication is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omfnex (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem omfnex
StepHypRef Expression
1 vex 2613 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 oaexg 6112 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
31, 2mpan 415 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
43ralrimivw 2440 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ V (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V)
5 eqid 2083 . . 3 (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴))
65fnmpt 5076 . 2 (∀𝑥 ∈ V (𝑥 +𝑜 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)
74, 6syl 14 1 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)) Fn V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  wral 2353  Vcvv 2610  cmpt 3859   Fn wfn 4947  (class class class)co 5563   +𝑜 coa 6082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089
This theorem is referenced by:  fnom  6114  omexg  6115  omv  6119  omv2  6129
  Copyright terms: Public domain W3C validator