ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omgadd GIF version

Theorem omgadd 10516
Description: Mapping ordinal addition to integer addition. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
omgadd.1 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
omgadd ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))

Proof of Theorem omgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
21fveq2d 5393 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
43oveq2d 5758 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
52, 4eqeq12d 2132 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅))))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 5393 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑧))
109oveq2d 5758 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))
118, 10eqeq12d 2132 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))))
13 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 5393 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
1615oveq2d 5758 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2132 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
1817imbi2d 229 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
2019fveq2d 5393 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝐵))
2221oveq2d 5758 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
2320, 22eqeq12d 2132 . . . 4 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
2423imbi2d 229 . . 3 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))))
25 omgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2625frechashgf1o 10169 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27 f1of 5335 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:ω⟶ℕ0
2928ffvelrni 5522 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 9000 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
3130addid1d 7879 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + 0) = (𝐺𝐴))
32 0zd 9034 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
3332, 25frec2uz0d 10140 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘∅) = 0)
3433oveq2d 5758 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0))
35 nna0 6338 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3635fveq2d 5393 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺𝐴))
3731, 34, 363eqtr4rd 2161 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
38 nnasuc 6340 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
3938fveq2d 5393 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
40 0zd 9034 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 0 ∈ ℤ)
41 nnacl 6344 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
4240, 25, 41frec2uzsucd 10142 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4339, 42eqtrd 2150 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
44433adant3 986 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45303ad2ant1 987 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
4628ffvelrni 5522 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 9000 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
48473ad2ant2 988 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
49 1cnd 7750 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
5045, 48, 49addassd 7756 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
51 oveq1 5749 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
52513ad2ant3 989 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
53 0zd 9034 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
54 id 19 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ ω)
5553, 25, 54frec2uzsucd 10142 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
5655oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
57563ad2ant2 988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5850, 52, 573eqtr4d 2160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
5944, 58eqtrd 2150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60593expia 1168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
6160expcom 115 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
6261a2d 26 . . 3 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 37, 62finds 4484 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
6463impcom 124 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  c0 3333  cmpt 3959  suc csuc 4257  ωcom 4474  wf 5089  1-1-ontowf1o 5092  cfv 5093  (class class class)co 5742  freccfrec 6255   +o coa 6278  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591  0cn0 8945  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-oadd 6285  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  hashun  10519
  Copyright terms: Public domain W3C validator