ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st GIF version

Theorem op1st 5800
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op1st (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 3991 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 410 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 1stvalg 5796 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 7 . 2 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op1sta 4829 . 2 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
86, 7eqtri 2076 1 (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  {csn 3402  cop 3405   cuni 3607  dom cdm 4372  cfv 4929  1st c1st 5792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-1st 5794
This theorem is referenced by:  op1std  5802  op1stg  5804  1stval2  5809  fo1stresm  5815  eloprabi  5849  algrflem  5877  genpelvl  6667  nqpru  6707  1prl  6710  addnqprlemrl  6712  addnqprlemfl  6714  addnqprlemfu  6715  mulnqprlemrl  6728  mulnqprlemfl  6730  mulnqprlemfu  6731  ltnqpr  6748  ltnqpri  6749  ltexprlemell  6753  recexprlemell  6777  archpr  6798  cauappcvgprlemm  6800  cauappcvgprlemopl  6801  cauappcvgprlemlol  6802  cauappcvgprlemdisj  6806  cauappcvgprlemloc  6807  cauappcvgprlemladdfl  6810  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  cauappcvgprlem1  6814  cauappcvgprlem2  6815  caucvgprlemm  6823  caucvgprlemopl  6824  caucvgprlemlol  6825  caucvgprlemdisj  6829  caucvgprlemloc  6830  caucvgprlem2  6835  caucvgprprlemell  6840  caucvgprprlemml  6849  caucvgprprlemopu  6854
  Copyright terms: Public domain W3C validator