Theorem op1stb 4255

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1stb.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		op1stb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	dfop 3589	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
4	3	inteqi 3660	. . . 4 ⊢ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
5	1	snex 3977	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ V
6		prexg 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
7	1, 2, 6	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
8	5, 7	intpr 3688	. . . . 5 ⊢ ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵})
9		snsspr1 3553	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵}
10		df-ss 2995	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴})
11	9, 10	mpbi 143	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴}
12	8, 11	eqtri 2103	. . . 4 ⊢ ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = {𝐴}
13	4, 12	eqtri 2103	. . 3 ⊢ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝐴}
14	13	inteqi 3660	. 2 ⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {𝐴}
15	1	intsn 3691	. 2 ⊢ ∩ {𝐴} = 𝐴
16	14, 15	eqtri 2103	1 ⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  Vcvv 2610   ∩ cin 2981   ⊆ wss 2982  {csn 3416  {cpr 3417  ⟨cop 3419  ∩ cint 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-int 3657

This theorem is referenced by:  elreldm  4608  op2ndb  4854  1stval2  5834  fundmen  6375  xpsnen  6387