Theorem op1stb 4236

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1stb.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		op1stb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	dfop 3575	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
4	3	inteqi 3646	. . . 4 ⊢ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
5		snexgOLD 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		prexgOLD 3973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
8	1, 2, 7	mp2an 410	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
9	6, 8	intpr 3674	. . . . 5 ⊢ ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵})
10		snsspr1 3539	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵}
11		df-ss 2958	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴})
12	10, 11	mpbi 137	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴}
13	9, 12	eqtri 2076	. . . 4 ⊢ ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = {𝐴}
14	4, 13	eqtri 2076	. . 3 ⊢ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝐴}
15	14	inteqi 3646	. 2 ⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {𝐴}
16	1	intsn 3677	. 2 ⊢ ∩ {𝐴} = 𝐴
17	15, 16	eqtri 2076	1 ⊢ ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  Vcvv 2574   ∩ cin 2943   ⊆ wss 2944  {csn 3402  {cpr 3403  ⟨cop 3405  ∩ cint 3642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-int 3643

This theorem is referenced by:  elreldm  4587  op2ndb  4831  1stval2  5809  fundmen  6316  xpsnen  6325