ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op2nd GIF version

Theorem op2nd 5802
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op2nd (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 3992 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 410 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 2ndvalg 5798 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 7 . 2 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op2nda 4833 . 2 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
86, 7eqtri 2076 1 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  {csn 3403  cop 3406   cuni 3608  ran crn 4374  cfv 4930  2nd c2nd 5794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-2nd 5796
This theorem is referenced by:  op2ndd  5804  op2ndg  5806  2ndval2  5811  fo2ndresm  5817  eloprabi  5850  fo2ndf  5876  f1o2ndf1  5877  genpelvu  6669  nqprl  6707  1pru  6712  addnqprlemru  6714  addnqprlemfl  6715  addnqprlemfu  6716  mulnqprlemru  6730  mulnqprlemfl  6731  mulnqprlemfu  6732  ltnqpr  6749  ltnqpri  6750  ltexprlemelu  6755  recexprlemelu  6779  cauappcvgprlemm  6801  cauappcvgprlemopu  6804  cauappcvgprlemupu  6805  cauappcvgprlemdisj  6807  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlemladdfu  6810  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  cauappcvgprlem2  6816  caucvgprlemm  6824  caucvgprlemopu  6827  caucvgprlemupu  6828  caucvgprlemdisj  6830  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlemladdfu  6833  caucvgprlem2  6836  caucvgprprlemelu  6842  caucvgprprlemmu  6851  caucvgprprlemexbt  6862  caucvgprprlem2  6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator