ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelxpi GIF version

Theorem opelxpi 4541
Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
opelxpi ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi
StepHypRef Expression
1 opelxp 4539 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷))
21biimpri 132 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465  cop 3500   × cxp 4507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-opab 3960  df-xp 4515
This theorem is referenced by:  opelxpd  4542  opelvvg  4558  opelvv  4559  opbrop  4588  fliftrel  5661  fnotovb  5782  ovi3  5875  ovres  5878  fovrn  5881  fnovrn  5886  ovconst2  5890  oprab2co  6083  1stconst  6086  2ndconst  6087  f1od2  6100  brdifun  6424  ecopqsi  6452  brecop  6487  th3q  6502  xpcomco  6688  xpf1o  6706  xpmapenlem  6711  djulclr  6902  djurclr  6903  djulcl  6904  djurcl  6905  djuf1olem  6906  addpiord  7092  mulpiord  7093  enqeceq  7135  1nq  7142  addpipqqslem  7145  mulpipq  7148  mulpipqqs  7149  addclnq  7151  mulclnq  7152  recexnq  7166  ltexnqq  7184  prarloclemarch  7194  prarloclemarch2  7195  nnnq  7198  enq0breq  7212  enq0eceq  7213  nqnq0  7217  addnnnq0  7225  mulnnnq0  7226  addclnq0  7227  mulclnq0  7228  nqpnq0nq  7229  prarloclemlt  7269  prarloclemlo  7270  prarloclemcalc  7278  genpelxp  7287  nqprm  7318  ltexprlempr  7384  recexprlempr  7408  cauappcvgprlemcl  7429  cauappcvgprlemladd  7434  caucvgprlemcl  7452  caucvgprprlemcl  7480  enreceq  7512  addsrpr  7521  mulsrpr  7522  0r  7526  1sr  7527  m1r  7528  addclsr  7529  mulclsr  7530  prsrcl  7560  mappsrprg  7580  addcnsr  7610  mulcnsr  7611  addcnsrec  7618  mulcnsrec  7619  pitonnlem2  7623  pitonn  7624  pitore  7626  recnnre  7627  axaddcl  7640  axmulcl  7642  xrlenlt  7797  frecuzrdgg  10157  frecuzrdgsuctlem  10164  seq3val  10199  cnrecnv  10650  eucalgf  11663  eucalg  11667  qredeu  11705  qnumdenbi  11797  crth  11827  phimullem  11828  setscom  11926  setsslid  11936  txbas  12354  upxp  12368  uptx  12370  txlm  12375  cnmpt21  12387  txswaphmeolem  12416  txswaphmeo  12417  comet  12595  qtopbasss  12617  cnmetdval  12625  remetdval  12635  tgqioo  12643  dvcnp2cntop  12759  dvef  12783  djucllem  12934  pwle2  13120
  Copyright terms: Public domain W3C validator