ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelxpi GIF version

Theorem opelxpi 4403
Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
opelxpi ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi
StepHypRef Expression
1 opelxp 4401 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷))
21biimpri 128 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  cop 3405   × cxp 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-opab 3846  df-xp 4378
This theorem is referenced by:  opelvvg  4416  opelvv  4417  opbrop  4446  fliftrel  5459  fnotovb  5575  ovi3  5664  ovres  5667  fovrn  5670  fnovrn  5675  ovconst2  5679  oprab2co  5866  1stconst  5869  2ndconst  5870  f1od2  5883  brdifun  6163  ecopqsi  6191  brecop  6226  th3q  6241  xpcomco  6330  addpiord  6471  mulpiord  6472  enqeceq  6514  1nq  6521  addpipqqslem  6524  mulpipq  6527  mulpipqqs  6528  addclnq  6530  mulclnq  6531  recexnq  6545  ltexnqq  6563  prarloclemarch  6573  prarloclemarch2  6574  nnnq  6577  enq0breq  6591  enq0eceq  6592  nqnq0  6596  addnnnq0  6604  mulnnnq0  6605  addclnq0  6606  mulclnq0  6607  nqpnq0nq  6608  prarloclemlt  6648  prarloclemlo  6649  prarloclemcalc  6657  genpelxp  6666  nqprm  6697  ltexprlempr  6763  recexprlempr  6787  cauappcvgprlemcl  6808  cauappcvgprlemladd  6813  caucvgprlemcl  6831  caucvgprprlemcl  6859  enreceq  6878  addsrpr  6887  mulsrpr  6888  0r  6892  1sr  6893  m1r  6894  addclsr  6895  mulclsr  6896  prsrcl  6925  addcnsr  6967  mulcnsr  6968  addcnsrec  6975  mulcnsrec  6976  pitonnlem2  6980  pitonn  6981  pitore  6983  recnnre  6984  axaddcl  6997  axmulcl  6999  xrlenlt  7142  cnrecnv  9737
  Copyright terms: Public domain W3C validator