Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeq1 GIF version

Theorem opeq1 3578
 Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
opeq1 (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2142 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
21anbi1d 453 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3 sneq 3417 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4 preq1 3477 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
53, 4preq12d 3485 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
65eleq2d 2149 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
72, 6anbi12d 457 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8 df-3an 922 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9 df-3an 922 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
107, 8, 93bitr4g 221 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
1110abbidv 2197 . 2 (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12 df-op 3415 . 2 𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13 df-op 3415 . 2 𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
1411, 12, 133eqtr4g 2139 1 (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {cab 2068  Vcvv 2602  {csn 3406  {cpr 3407  ⟨cop 3409 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415 This theorem is referenced by:  opeq12  3580  opeq1i  3581  opeq1d  3584  oteq1  3587  breq1  3796  cbvopab1  3859  cbvopab1s  3861  opthg  4001  eqvinop  4006  opelopabsb  4023  opelxp  4400  elvvv  4429  opabid2  4495  opeliunxp2  4504  elsnres  4675  elimasng  4723  rnxpid  4785  dmsnopg  4822  cnvsng  4836  elxp4  4838  elxp5  4839  funopg  4964  f1osng  5198  dmfco  5273  fvelrn  5330  fsng  5368  fvsng  5391  funfvima3  5424  oveq1  5550  oprabid  5568  dfoprab2  5583  cbvoprab1  5607  opabex3d  5779  opabex3  5780  op1stg  5808  op2ndg  5809  dfoprab4f  5850  cnvoprab  5886  tfr1onlemaccex  5997  tfrcllemaccex  6010  fundmen  6353  xpsnen  6365  xpassen  6374  xpf1o  6385  ltexnqq  6660  archnqq  6669  prarloclemarch2  6671  prarloclemlo  6746  prarloclem3  6749  prarloclem5  6752  caucvgprlemnkj  6918  caucvgprlemnbj  6919  caucvgprlemm  6920  caucvgprlemdisj  6926  caucvgprlemloc  6927  caucvgprlemcl  6928  caucvgprlemladdfu  6929  caucvgprlemladdrl  6930  caucvgprlem1  6931  caucvgprlem2  6932  caucvgpr  6934  caucvgprprlemell  6937  caucvgprprlemelu  6938  caucvgprprlemcbv  6939  caucvgprprlemval  6940  caucvgprprlemnkeqj  6942  caucvgprprlemmu  6947  caucvgprprlemopl  6949  caucvgprprlemlol  6950  caucvgprprlemopu  6951  caucvgprprlemloc  6955  caucvgprprlemclphr  6957  caucvgprprlemexbt  6958  caucvgprprlem1  6961  caucvgprprlem2  6962  caucvgsr  7040  elrealeu  7060  pitonn  7078  nntopi  7122  axcaucvglemval  7125  axcaucvg  7128
 Copyright terms: Public domain W3C validator