ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabexd GIF version

Theorem oprabexd 5781
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (𝜑𝐴 ∈ V)
oprabexd.2 (𝜑𝐵 ∈ V)
oprabexd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (𝜑𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
32ex 112 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4 moanimv 1991 . . . . . 6 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
53, 4sylibr 141 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
65alrimivv 1771 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
7 funoprabg 5627 . . . 4 (∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
86, 7syl 14 . . 3 (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
9 dmoprabss 5613 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
12 xpexg 4479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
1310, 11, 12syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14 ssexg 3923 . . . 4 ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
159, 13, 14sylancr 399 . . 3 (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
16 funex 5411 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
178, 15, 16syl2anc 397 . 2 (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
181, 17eqeltrd 2130 1 (𝜑𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wal 1257   = wceq 1259  wcel 1409  ∃*wmo 1917  Vcvv 2574  wss 2944   × cxp 4370  dom cdm 4372  Fun wfun 4923  {coprab 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-oprab 5543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator