ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ord3ex GIF version

Theorem ord3ex 3968
Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
ord3ex {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V

Proof of Theorem ord3ex
StepHypRef Expression
1 df-tp 3410 . 2 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}})
2 pp0ex 3967 . . . . 5 {∅, {∅}} ∈ V
32pwex 3959 . . . 4 𝒫 {∅, {∅}} ∈ V
4 pwprss 3603 . . . 4 ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ⊆ 𝒫 {∅, {∅}}
53, 4ssexi 3922 . . 3 ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ∈ V
6 snsspr2 3540 . . . 4 {{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}}
7 unss2 3141 . . . 4 ({{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}} → ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}))
86, 7ax-mp 7 . . 3 ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}})
95, 8ssexi 3922 . 2 ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ∈ V
101, 9eqeltri 2126 1 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1409  Vcvv 2574  cun 2942  wss 2944  c0 3251  𝒫 cpw 3386  {csn 3402  {cpr 3403  {ctp 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-tp 3410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator