Theorem ordelss 4296

Description: An element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 30-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelss	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem ordelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4295	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		trss 4030	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 123	. 2 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	1, 3	sylan 281	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066  Tr wtr 4021  Ord word 4279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283

This theorem is referenced by:  ordelord  4298  onelss  4304  ordsuc  4473  smores3  6183  tfrlem1  6198  tfrlemisucaccv  6215  tfrlemiubacc  6220  tfr1onlemsucaccv  6231  tfr1onlemubacc  6236  tfrcllemsucaccv  6244  tfrcllemubacc  6249  nntri1  6385  nnsseleq  6390  fict  6755  infnfi  6782  isinfinf  6784  ordiso2  6913  hashinfuni  10516