ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordwe GIF version

Theorem ordwe 4327
Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordwe (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordfr 4326 . 2 (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2 ordelord 4145 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
323ad2antr3 1082 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → Ord 𝑧)
4 ordtr1 4152 . . . . 5 (Ord 𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
5 epel 4056 . . . . . 6 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
6 epel 4056 . . . . . 6 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
75, 6anbi12i 441 . . . . 5 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑧))
8 epel 4056 . . . . 5 (𝑥 E 𝑧𝑥𝑧)
94, 7, 83imtr4g 198 . . . 4 (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
103, 9syl 14 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
1110ralrimivvva 2419 . 2 (Ord 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12 df-wetr 4098 . 2 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
131, 11, 12sylanbrc 402 1 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896  wcel 1409  wral 2323   class class class wbr 3791   E cep 4051   Fr wfr 4092   We wwe 4094  Ord word 4126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-frfor 4095  df-frind 4096  df-wetr 4098  df-iord 4130
This theorem is referenced by:  nnwetri  6384
  Copyright terms: Public domain W3C validator