ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordwe GIF version

Theorem ordwe 4347
Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordwe (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordfr 4346 . 2 (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2 ordelord 4165 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
323ad2antr3 1106 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → Ord 𝑧)
4 ordtr1 4172 . . . . 5 (Ord 𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
5 epel 4076 . . . . . 6 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
6 epel 4076 . . . . . 6 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
75, 6anbi12i 448 . . . . 5 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑧))
8 epel 4076 . . . . 5 (𝑥 E 𝑧𝑥𝑧)
94, 7, 83imtr4g 203 . . . 4 (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
103, 9syl 14 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
1110ralrimivvva 2450 . 2 (Ord 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12 df-wetr 4118 . 2 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
131, 11, 12sylanbrc 408 1 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920  wcel 1434  wral 2353   class class class wbr 3806   E cep 4071   Fr wfr 4112   We wwe 4114  Ord word 4146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2613  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-frfor 4115  df-frind 4116  df-wetr 4118  df-iord 4150
This theorem is referenced by:  nnwetri  6462
  Copyright terms: Public domain W3C validator