ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovidig GIF version

Theorem ovidig 5643
Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5644. The condition (𝑥𝑅𝑦𝑆) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovidig.1 ∃*𝑧𝜑
ovidig.2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
Assertion
Ref Expression
ovidig (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovidig
StepHypRef Expression
1 df-ov 5540 . 2 (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2 ovidig.1 . . . . 5 ∃*𝑧𝜑
32funoprab 5626 . . . 4 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
4 ovidig.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
54funeqi 4947 . . . 4 (Fun 𝐹 ↔ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
63, 5mpbir 138 . . 3 Fun 𝐹
7 oprabid 5562 . . . . 5 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
87biimpri 128 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
98, 4syl6eleqr 2145 . . 3 (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)
10 funopfv 5238 . . 3 (Fun 𝐹 → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧))
116, 9, 10mpsyl 63 . 2 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧)
121, 11syl5eq 2098 1 (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1257  wcel 1407  ∃*wmo 1915  cop 3403  Fun wfun 4921  cfv 4927  (class class class)co 5537  {coprab 5538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-setind 4287
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541
This theorem is referenced by:  ovidi  5644
  Copyright terms: Public domain W3C validator