Theorem peano1 4503

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4050	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elint 3772	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧))
3		df-clab 2124	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
4		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑦)
5	4	sbimi 1737	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦)
6		clelsb4 2243	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦 ↔ ∅ ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylib 121	. . . 4 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑧)
8	3, 7	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧)
9	2, 8	mpgbir 1429	. 2 ⊢ ∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
10		dfom3 4501	. 2 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
11	9, 10	eleqtrri 2213	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  [wsb 1735  {cab 2123  ∀wral 2414  ∅c0 3358  ∩ cint 3766  suc csuc 4282  ωcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-nul 3359  df-int 3767  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  peano5  4507  limom  4522  nnregexmid  4529  omsinds  4530  nnpredcl  4531  frec0g  6287  frecabcl  6289  frecrdg  6298  oa1suc  6356  nna0r  6367  nnm0r  6368  nnmcl  6370  nnmsucr  6377  1onn  6409  nnm1  6413  nnaordex  6416  nnawordex  6417  php5  6745  php5dom  6750  0fin  6771  findcard2  6776  findcard2s  6777  infm  6791  inffiexmid  6793  0ct  6985  ctmlemr  6986  ctssdclemn0  6988  ctssdc  6991  omct  6995  fodjum  7011  fodju0  7012  ctssexmid  7017  1lt2pi  7141  nq0m0r  7257  nq0a0  7258  prarloclem5  7301  frec2uzrand  10171  frecuzrdg0  10179  frecuzrdg0t  10188  frecfzennn  10192  0tonninf  10205  1tonninf  10206  hashinfom  10517  hashunlem  10543  hash1  10550  ennnfonelemj0  11903  ennnfonelem1  11909  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemhom  11917  bj-nn0suc  13151  bj-nn0sucALT  13165  pwle2  13182  pwf1oexmid  13183  subctctexmid  13185  peano3nninf  13190  nninfall  13193  nninfsellemdc  13195  nninfsellemeq  13199  nninffeq  13205  isomninnlem  13214