Theorem peano2 4261

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (A ∈ 𝜔 → suc A ∈ 𝜔)

Proof of Theorem peano2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2560	. 2 ⊢ (A ∈ 𝜔 → A ∈ V)
2		simpl 102	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) → A ∈ V)
3		eleq1 2097	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (x ∈ z ↔ A ∈ z))
4		suceq 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = A → suc x = suc A)
5	4	eleq1d 2103	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (suc x ∈ z ↔ suc A ∈ z))
6	3, 5	imbi12d 223	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → ((x ∈ z → suc x ∈ z) ↔ (A ∈ z → suc A ∈ z)))
7	6	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) ∧ x = A) → ((x ∈ z → suc x ∈ z) ↔ (A ∈ z → suc A ∈ z)))
8		df-clab 2024	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} ↔ [z / y](∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y))
9		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y) → ∀x ∈ y suc x ∈ y)
10		df-ral 2305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ y suc x ∈ y ↔ ∀x(x ∈ y → suc x ∈ y))
11	9, 10	sylib 127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y) → ∀x(x ∈ y → suc x ∈ y))
12	11	sbimi 1644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([z / y](∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y) → [z / y]∀x(x ∈ y → suc x ∈ y))
13		sbim 1824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([z / y](x ∈ y → suc x ∈ y) ↔ ([z / y]x ∈ y → [z / y]suc x ∈ y))
14		elsb4 1850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([z / y]x ∈ y ↔ x ∈ z)
15		clelsb4 2140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([z / y]suc x ∈ y ↔ suc x ∈ z)
16	14, 15	imbi12i 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([z / y]x ∈ y → [z / y]suc x ∈ y) ↔ (x ∈ z → suc x ∈ z))
17	13, 16	bitri 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([z / y](x ∈ y → suc x ∈ y) ↔ (x ∈ z → suc x ∈ z))
18	17	sbalv 1878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([z / y]∀x(x ∈ y → suc x ∈ y) ↔ ∀x(x ∈ z → suc x ∈ z))
19	12, 18	sylib 127	. . . . . . . . 9 ⊢ ([z / y](∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y) → ∀x(x ∈ z → suc x ∈ z))
20	8, 19	sylbi 114	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} → ∀x(x ∈ z → suc x ∈ z))
21	20	19.21bi 1447	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} → (x ∈ z → suc x ∈ z))
22	21	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) → (x ∈ z → suc x ∈ z))
23		nfv 1418	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx A ∈ V
24		nfv 1418	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎx∅ ∈ y
25		nfra1 2349	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎx∀x ∈ y suc x ∈ y
26	24, 25	nfan 1454	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎx(∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)
27	26	nfsab 2029	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}
28	23, 27	nfan 1454	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx(A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)})
29		nfcvd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) → ℲxA)
30		nfvd 1419	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) → Ⅎx(A ∈ z → suc A ∈ z))
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2599	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) → (A ∈ z → suc A ∈ z))
32	31	ralrimiva 2386	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} (A ∈ z → suc A ∈ z))
33		ralim 2374	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} (A ∈ z → suc A ∈ z) → (∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}A ∈ z → ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}suc A ∈ z))
34		elintg 3614	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} ↔ ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}A ∈ z))
35		sucexg 4190	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → suc A ∈ V)
36		elintg 3614	. . . . . . 7 ⊢ (suc A ∈ V → (suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} ↔ ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}suc A ∈ z))
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} ↔ ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}suc A ∈ z))
38	34, 37	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → ((A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} → suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}) ↔ (∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}A ∈ z → ∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}suc A ∈ z)))
39	33, 38	syl5ibr 145	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (∀z ∈ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} (A ∈ z → suc A ∈ z) → (A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} → suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)})))
40	32, 39	mpd 13	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)} → suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}))
41		dfom3 4258	. . . 4 ⊢ 𝜔 = ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)}
42	41	eleq2i 2101	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝜔 ↔ A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)})
43	41	eleq2i 2101	. . 3 ⊢ (suc A ∈ 𝜔 ↔ suc A ∈ ∩ {y ∣ (∅ ∈ y ∧ ∀x ∈ y suc x ∈ y)})
44	40, 42, 43	3imtr4g 194	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ 𝜔 → suc A ∈ 𝜔))
45	1, 44	mpcom 32	1 ⊢ (A ∈ 𝜔 → suc A ∈ 𝜔)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  [wsb 1642  {cab 2023  ∀wral 2300  Vcvv 2551  ∅c0 3218  ∩ cint 3606  suc csuc 4068  𝜔com 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257

This theorem is referenced by:  peano5  4264  limom  4279  peano2b  4280  nnregexmid  4285  frecsuclem1  5926  frecsuclem3  5929  frecrdg  5931  nnacl  5998  nnacom  6002  nnmsucr  6006  nnsucsssuc  6010  nnaword  6020  1onn  6029  2onn  6030  3onn  6031  4onn  6032  nnaordex  6036  frec2uzrand  8872  frecuzrdgsuc  8882  frecfzennn  8884