Theorem peano2b 4528

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		elex 2697	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3		sucexb 4413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5		sucidg 4338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		elnn 4519	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
8	6, 7	mpancom 418	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
9	1, 8	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  suc csuc 4287  ωcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4536  nnmsucr  6384