ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2b GIF version

Theorem peano2b 4365
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 peano2 4346 . 2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2 elex 2583 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3 sucexb 4251 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
42, 3sylibr 141 . . . 4 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5 sucidg 4181 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
64, 5syl 14 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 elnn 4356 . . 3 ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
86, 7mpancom 407 . 2 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
91, 8impbii 121 1 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 102  wcel 1409  Vcvv 2574  suc csuc 4130  ωcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-suc 4136  df-iom 4342
This theorem is referenced by:  nnmsucr  6098
  Copyright terms: Public domain W3C validator