ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 GIF version

Theorem peano2nn0 8395
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 8371 . 2 1 ∈ ℕ0
2 nn0addcl 8390 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31, 2mpan2 416 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  (class class class)co 5543  1c1 7044   + caddc 7046  0cn0 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-inn 8107  df-n0 8356
This theorem is referenced by:  peano2z  8468  nn0split  9224  fzonn0p1p1  9299  elfzom1p1elfzo  9300  frecfzennn  9508  leexp2r  9627  facdiv  9762  facwordi  9764  faclbnd  9765  faclbnd2  9766  faclbnd3  9767  faclbnd6  9768  bcnp1n  9783  bcp1m1  9789  bcpasc  9790  nn0ob  10452  nn0oddm1d2  10453  nn0seqcvgd  10567  ialgcvg  10574  pw2dvdseulemle  10689  2sqpwodd  10698
  Copyright terms: Public domain W3C validator