Theorem peano2nn0 9017

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 8993	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9012	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  1c1 7621   + caddc 7623  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  peano2z  9090  nn0split  9913  fzonn0p1p1  9990  elfzom1p1elfzo  9991  frecfzennn  10199  leexp2r  10347  facdiv  10484  facwordi  10486  faclbnd  10487  faclbnd2  10488  faclbnd3  10489  faclbnd6  10490  bcnp1n  10505  bcp1m1  10511  bcpasc  10512  hashfz  10567  bcxmas  11258  geolim  11280  geo2sum  11283  mertenslemub  11303  mertenslemi1  11304  mertenslem2  11305  mertensabs  11306  efcllemp  11364  eftlub  11396  efsep  11397  effsumlt  11398  nn0ob  11605  nn0oddm1d2  11606  nn0seqcvgd  11722  algcvg  11729  pw2dvdseulemle  11845  2sqpwodd  11854  nonsq  11885  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemim  11937