Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn GIF version

Theorem peano2nnnn 6986
 Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8001 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7031). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21eleq2i 2120 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3 elintg 3650 . . . . 5 (𝐴𝑁 → (𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
42, 3syl5bb 185 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
54ibi 169 . . 3 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧)
6 vex 2577 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
7 eleq2 2117 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8 eleq2 2117 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
98raleqbi1dv 2530 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
107, 9anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
116, 10elab 2709 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
1211simprbi 264 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13 oveq1 5546 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
1413eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1514rspcva 2671 . . . . . 6 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1612, 15sylan2 274 . . . . 5 ((𝐴𝑧𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1716expcom 113 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1817ralimia 2399 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
195, 18syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20 df-1 6954 . . . . 5 1 = ⟨1R, 0R
21 1sr 6893 . . . . . 6 1RR
22 0r 6892 . . . . . 6 0RR
23 opexg 3991 . . . . . 6 ((1RR ∧ 0RR) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
2421, 22, 23mp2an 410 . . . . 5 ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
2520, 24eqeltri 2126 . . . 4 1 ∈ V
26 addvalex 6977 . . . 4 ((𝐴𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
2725, 26mpan2 409 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
281eleq2i 2120 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29 elintg 3650 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3028, 29syl5bb 185 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3127, 30syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3219, 31mpbird 160 1 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  {cab 2042  ∀wral 2323  Vcvv 2574  ⟨cop 3405  ∩ cint 3642  (class class class)co 5539  Rcnr 6452  0Rc0r 6453  1Rc1r 6454  1c1 6947   + caddc 6949 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-enr 6868  df-nr 6869  df-0r 6873  df-1r 6874  df-c 6952  df-1 6954  df-add 6957 This theorem is referenced by:  nnindnn  7024
 Copyright terms: Public domain W3C validator