ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2uz GIF version

Theorem peano2uz 8752
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 939 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 peano2z 8468 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 961 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 8436 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 8436 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 letrp1 7993 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
75, 6syl3an2 1204 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
84, 7syl3an1 1203 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
91, 3, 83jca 1119 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10 eluz2 8706 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
11 eluz2 8706 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
129, 10, 113imtr4i 199 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3793  cfv 4932  (class class class)co 5543  cr 7042  1c1 7044   + caddc 7046  cle 7216  cz 8432  cuz 8700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701
This theorem is referenced by:  peano2uzs  8753  peano2uzr  8754  uzaddcl  8755  fzsplit  9146  fzssp1  9161  fzsuc  9162  fzpred  9163  fzp1ss  9166  fzp1elp1  9168  fztp  9171  fzneuz  9194  fzosplitsnm1  9295  fzofzp1  9313  fzosplitsn  9319  fzostep1  9323  frec2uzuzd  9484  frecuzrdgrrn  9490  frec2uzrdg  9491  frecuzrdgrcl  9492  frecuzrdgsuc  9496  frecuzrdgrclt  9497  frecuzrdgg  9498  frecuzrdgsuctlem  9505  frecfzen2  9509  fzfig  9512  uzsinds  9518  iseqovex  9529  iseqval  9530  iseqvalt  9532  iseqfclt  9536  iseqp1  9538  iseqp1t  9539  iseqoveq  9540  iseqsplit  9554  iseqhomo  9565  iseqz  9566  faclbnd3  9767  bcm1k  9784  clim2iser  10313  clim2iser2  10314  serif0  10327  zsupcllemstep  10485  infssuzex  10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator