ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2z GIF version

Theorem peano2z 8520
Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2z (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z
StepHypRef Expression
1 zre 8488 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 1red 7248 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 7262 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4 elznn0nn 8498 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
54biimpi 118 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
61biantrurd 299 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
76orbi2d 737 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))))
85, 7mpbird 165 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9 peano2nn0 8447 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
109a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
111adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 1red 7248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12readdcld 7262 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1413renegcld 7603 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1514recnd 7261 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1611recnd 7261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17 1cnd 7249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
1816, 17negdid 7551 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
1918oveq1d 5578 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
2016negcld 7525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℂ)
21 neg1cn 8263 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
2320, 22, 17addassd 7255 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
2419, 23eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25 ax-1cn 7183 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 1pneg1e0 8269 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
2725, 21, 26addcomli 7372 . . . . . . . . . 10 (-1 + 1) = 0
2827oveq2i 5574 . . . . . . . . 9 (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
2924, 28syl6eq 2131 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
3020addid1d 7376 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
3129, 30eqtrd 2115 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
3331, 32eqeltrd 2159 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
34 elnn0nn 8449 . . . . . 6 (-(𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (-(𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (-(𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ))
3515, 33, 34sylanbrc 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3635ex 113 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
3710, 36orim12d 733 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
388, 37mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
39 elznn0 8499 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑁 + 1) ∈ ℕ0)))
403, 38, 39sylanbrc 408 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  wcel 1434  (class class class)co 5563  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098  -cneg 7399  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485
This theorem is referenced by:  zaddcllempos  8521  peano2zm  8522  zleltp1  8539  btwnnz  8574  peano2uz2  8587  uzind  8591  uzind2  8592  peano2zd  8605  eluzp1m1  8775  eluzp1p1  8777  peano2uz  8804  zltaddlt1le  9156  fzp1disj  9225  elfzp1b  9242  fzneuz  9246  fzp1nel  9249  fzval3  9342  fzossfzop1  9350  rebtwn2zlemstep  9391  flhalf  9436  frec2uzsucd  9535  zesq  9740  hashfzp1  9900  odd2np1lem  10479  odd2np1  10480  mulsucdiv2z  10492  oddp1d2  10497  zob  10498  ltoddhalfle  10500
  Copyright terms: Public domain W3C validator