Theorem peano3 4510

Description: The successor of any natural number is not zero. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(3) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano3	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem peano3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0g 4340	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363  suc csuc 4287  ωcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  nndceq0  4531  frecabcl  6296  frecsuclem  6303  nnsucsssuc  6388  php5  6752  findcard2  6783  findcard2s  6784  omp1eomlem  6979  ctmlemr  6993  nnsf  13199  peano4nninf  13200